Matematica e geometria nei giochi enigmistici

[apollonia]

14 ore fa, Il_Collezionista_ dice:

Provo a risolvere:

Le squadre sono 7 , in totale avranno fatto 21 partite.

Per ottenere come totale 60 durante tutte le 21 partite ci sono state 18 concluse con una vittoria e 3 in pareggio.

La mia risposta di quante partite sono finite in pareggio é:

3

 

 

La risposta è giusta, ma come ho già fatto presente, la mia aspettativa è che il solutore spieghi nei dettagli la via seguita per trovarle la risposta. La cosa è utile non solo per un confronto con la via seguita da chi ha proposto il quiz, ma soprattutto per chi ha cercato di risolvere il quiz ma non ha trovato il modo di arrivare alla soluzione. Nel caso specifico, uno potrebbe chiedersi come si può affermare che le squadre hanno disputato 21 partite e poi come si può dimostrare che i 60 punti assegnati in esse si traducono in 18 vittorie e tre pareggi con un procedimento che non sia quello di provare caso per caso.

Poi dirò del mio procedimento.

apollonia

[Il_Collezionista_]

Il numero dei tornei

6(n-1)x7(n):2 = 21

18 vittorie = 54 punti

3 pareggi= 6 punti

Totale 54+6=60

Non ci sono altre combinazioni possibili quindi é per forza 3 pareggi

[apollonia]

Riporto il testo del problema

La formula della fase iniziale di un torneo a sette squadre prevede che ciascuna squadra giochi contro tutte le altre una sola volta e che negli scontri diretti venga assegnato in ogni incontro 3 punti al vincitore e nessun punto al perdente in caso di vittoria e 1 punto a ciascuna delle due squadre in caso di pareggio.

Al termine la somma dei punti totalizzati dalle sette squadre è 60. Quante sono le partite finite in pareggio?

Considerato che ognuna delle 7 squadre disputa 6 partite e che si devono escludere le partite doppie perché ciascuna squadra gioca contro tutte le altre una sola volta, il numero di partite giocate è 7x6/2 = 21, come si può vedere dal prospetto seguente.

Se le 21 partite fossero finite tutte in parità, la somma dei punti totalizzati sarebbe stata 42.

Se le 21 partite si fossero concluse tutte con la vittoria di una squadra, la somma dei punti totalizzati sarebbe stata 63.

Il punteggio di 60 indica che qualche partita è finita in pareggio. Indicando con P le partite pareggiate, si può impostare l’equazione 2P + 3(21 - P) = 60 da cui P = 3.

Infatti, come verifica, la somma dei punti assegnati per le tre partite pareggiate (6) più i punti per le partite con un vincitore (18x3 = 54) dà 60.

apollonia

[apollonia]

Per aprire una cassaforte contenente le monete ereditate dovete risolvere il problema che vi chiede quanti sono i possibili codici della combinazione a 5 cifre, avendo come indizio che le cifre della combinazione giusta sono tutte diverse fra loro e la prima è la somma delle rimanenti quattro.

Qual è il numero dei possibili codici della combinazione?

apollonia

[Il_Collezionista_]

Posso provare con 

64 combinazioni 

Calcolando che minimo il primo numero sarà 6 , posso essere utilizzatati: 6 7 8 9

Ogni combinazione può essere ripetuta 16 volte quindi 64

[Carlo.]

scusate, ero convinto di aver già risposto, invece non avevo schiacciato "invia"

168 combinazioni.

le cifre della combinazione giusta sono tutte diverse fra loro e la prima è la somma delle rimanenti quattro

a questi vincoli va aggiunto che la prima cifra deve essere minore o uguale di 9 (vincolo sottointeso).

possiamo individuare quindi degli insiemi di quartuple che rispondono ai vincoli sopra esposti:

(0,1,2,3) (somma 6),
(0,1,2,4) (somma 7),
(0,1,2,5) (somma 8),
(0,1,2,6) (somma 9),
(0,1,3,4) (somma 8),
(0,1,3,5) (somma 9),
(0,2,3,4) (somma 9).

Per ciascuno di questi 7 insiemi la prima cifra è fissata (= la somma) e le quattro cifre rimanenti possono comparire nelle posizioni da 2 a 5 in diverso ordine, quindi in 4! = 24 modi distinti.

quindi il totale delle combinazioni è dato da 24 (combinazioni date dall'ordine delle 4 cifre) x 7 (insiemi di quartuple) = 168 combinazioni.

saluti

Carlo

[apollonia]

28 minuti fa, Carlo. dice:

scusate, ero convinto di aver già risposto, invece non avevo schiacciato "invia"

168 combinazioni.

le cifre della combinazione giusta sono tutte diverse fra loro e la prima è la somma delle rimanenti quattro

a questi vincoli va aggiunto che la prima cifra deve essere minore o uguale di 9 (vincolo sottointeso).

possiamo individuare quindi degli insiemi di quartuple che rispondono ai vincoli sopra esposti:

(0,1,2,3) (somma 6),
(0,1,2,4) (somma 7),
(0,1,2,5) (somma 8),
(0,1,2,6) (somma 9),
(0,1,3,4) (somma 8),
(0,1,3,5) (somma 9),
(0,2,3,4) (somma 9).

Per ciascuno di questi 7 insiemi la prima cifra è fissata (= la somma) e le quattro cifre rimanenti possono comparire nelle posizioni da 2 a 5 in diverso ordine, quindi in 4! = 24 modi distinti.

quindi il totale delle combinazioni è dato da 24 (combinazioni date dall'ordine delle 4 cifre) x 7 (insiemi di quartuple) = 168 combinazioni.

saluti

Carlo

 

Non si poteva trovare una spiegazione migliore: complimenti.

apollonia

[Carlo.]

10 minuti fa, apollonia dice:

Non si poteva trovare una spiegazione migliore: complimenti.

apollonia

 

Grazie. Mi sono dovuto applicare, non è la mia branca matematica preferita. Essendomi anche un poco ostica ho ritenuto di dover essere più chiaro del solito nella spiegazione, anche a verifica del ragionamento.

Saluti