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apollonia

Quiz con le monete

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vv64
Supporter
13 minuti fa, apollonia dice:

...

PS. Non vorrei che il quiz al post # 148 fosse stato oscurato o ritenuto quello annullato dal post successivo.

....

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Sia A il peso di una moneta di rame, B quello di una moneta di argento e C quello di una moneta d’oro. Il testo ci dice che:

1)    3A+ C = 10B

2)    6B + A = C

Dalla equazione 2 si può esprimere il peso di una moneta di rame, A, in funzione di B e C, ovvero:

A = C - 6B

L’equazione 1 si può quindi riscrivere come:

3 (C – 6B) + C = 10 B, ovvero 3 C + C = 10 B + 18 B,

e dunque 4 C = 28 B.

Quindi il peso di 4 monete d’oro è uguale al peso di 28 monete di argento, da cui si ricava che il peso di una moneta d’oro è uguale al peso di 7 monete di argento

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apollonia

Nulla da eccepire sulla soluzione di vv64 che si rivela un ottimo solutore non solo di rebus. Io sono arrivato allo stesso risultato per un'altra strada.

I dati del problema sono illustrati in tabella dal carico A e dal carico B, entrambi in equilibrio. Ma anche il carico C ottenuto sommando i due precedenti sui piatti rispettivi è all’equilibrio, come pure il carico D ottenuto scaricando 1 (Au) e 6 (Ag) da entrambi i piatti, che dimostra che 1 (Cu) pesa quanto 1 (Ag).

1890006996_tabellaquizmonetetremetalli.PNG.d921bc398e2b9f11e16515084313375d.PNG

Sostituendo in B si ha 7(Ag) = 1 (Au) e quindi sono necessarie sette monete d’argento per equilibrare una moneta d’oro.

apollonia

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apollonia

Siccome s'è girato pagina, ripeto qui il quiz (piuttosto semplice in verità) del post # 150.

Due monete false su quattro per pesata

Avete trovato in un cofanetto quattro monete d'oro apparentemente identiche ma leggete sul cartellino che due di esse sono false e hanno un peso leggermente inferiore alle altre (e uguale fra loro). Con una bilancia a due piatti e senza pesi aggiuntivi dovete trovare con due pesate quali sono le monete false.

apollonia

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apollonia

Pesata difficoltosa?

Eccone uno senza pesate.

L’eredità del nonno

Tre fratelli sono stati convocati dal notaio per l’eredità del nonno, un appassionato di numismatica che aveva lasciato per loro un certo numero di esemplari di una rarissima moneta da suddividere in base al quiz che dovevano risolvere per stabilire quanti esemplari il notaio teneva in cassaforte e quanti sarebbero spettati a ciascuno di essi. Al primo nipote sarebbe toccata la metà degli esemplari in cassaforte più mezzo esemplare (mezzo per il conteggio in quanto le monete erano intere); al secondo nipote la metà degli esemplari restanti più mezzo esemplare; al terzo nipote la metà degli esemplari restanti più mezzo esemplare. In questo modo tutti gli esemplari sarebbero stati suddivisi fra i tre nipoti. Quanti esemplari c’erano in cassaforte e quanti di essi sono stati ereditati da ciascun nipote?

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vv64
Supporter
Il 27/10/2020 alle 11:59, apollonia dice:

Siccome s'è girato pagina, ripeto qui il quiz (piuttosto semplice in verità) del post # 150.

Due monete false su quattro per pesata

Avete trovato in un cofanetto quattro monete d'oro apparentemente identiche ma leggete sul cartellino che due di esse sono false e hanno un peso leggermente inferiore alle altre (e uguale fra loro). Con una bilancia a due piatti e senza pesi aggiuntivi dovete trovare con due pesate quali sono le monete false.

apollonia

Indichiamo con A le monete vere e con B le false, e con 1 e 2 i due piatti.

Si parte con una moneta per piatto. Ci sono tre possibilità:

i)             1:A, 2:A

ii)            1:A, 2:B       o, equivalentemente, 1:B, 2:A

iii)           1:B, 2:B

Nel caso ii) è immediato individuare tra le due monete quella vera e quella falsa. La discriminazione tra le due monete restanti si effettua nello stesso modo con la seconda pesata.

Nei casi casi i) e iii): si sostituisce una delle due monete con una di quelle restanti. Questa pesata consente di capire, dallo sbilanciamento dei piatti, la natura delle monete con cui si è partiti, e di conseguenza anche quella delle altre due.

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apollonia

Dopo il riconoscimento a vv64 per la sua soluzione, metto la via da me seguita simile alla sua.

Chiamiamo le monete A, B, C, D e nella prima pesata confrontiamo A e B con tre possibili risultati: A = B, A < B e A > B.

Se A < B sarà A la prima moneta falsa e pesando successivamente C con D si troverà la seconda moneta falsa.

Se A > B sarà B è la prima moneta falsa e pesando successivamente C con D si otterrà la seconda moneta falsa.

Se A = B queste due monete saranno entrambe false o entrambe vere.

Pesiamo ora A con C e: se A < C le monete false sono A e B; se A >C le monete false sono C e D.

apollonia

PS. Anche per la soluzione del quiz dell'eredità del nonno ci sono almeno due strade possibili.

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nikita_
Supporter
14 ore fa, apollonia dice:

Pesata difficoltosa?

Eccone uno senza pesate.

L’eredità del nonno

Tre fratelli sono stati convocati dal notaio per l’eredità del nonno, un appassionato di numismatica che aveva lasciato per loro un certo numero di esemplari di una rarissima moneta da suddividere in base al quiz che dovevano risolvere per stabilire quanti esemplari il notaio teneva in cassaforte e quanti sarebbero spettati a ciascuno di essi. Al primo nipote sarebbe toccata la metà degli esemplari in cassaforte più mezzo esemplare (mezzo per il conteggio in quanto le monete erano intere); al secondo nipote la metà degli esemplari restanti più mezzo esemplare; al terzo nipote la metà degli esemplari restanti più mezzo esemplare. In questo modo tutti gli esemplari sarebbero stati suddivisi fra i tre nipoti. Quanti esemplari c’erano in cassaforte e quanti di essi sono stati ereditati da ciascun nipote?

186877992_Giovenalefirmaconingleseetedescook.jpg.14327c1058ffc72c20c703d47caf14a8.jpg

 

Sembrerebbe che l'unico numero sia 7 monete

7:2 + 0,50 = 4
restano 3 monete per il secondo nipote
3:2 + 0,50 = 2
resta 1 moneta per il terzo
1:2 + 0,50 = 1

 

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apollonia
1 ora fa, nikita_ dice:

 

Sembrerebbe che l'unico numero sia 7 monete

7:2 + 0,50 = 4
restano 3 monete per il secondo nipote
3:2 + 0,50 = 2
resta 1 moneta per il terzo
1:2 + 0,50 = 1

 

Una clausola dell’eredità stabiliva che fosse indicata la strada per arrivare alla soluzione. Resto in attesa, altrimenti indicherò la mia.

apollonia

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nikita_
Supporter

Sono partito dal terzo nipote con un conteggio/ragionamento al contrario terra terra senza l'utilizzo di formule: sapendo che non si debbono dividere in due le monete l'unica era dare al terzo nipote una mezza moneta ed aggiungere una mezza come da quiz

0,50 + 0,50 = 1

questo risultato è la metà delle monete che vanno al secondo nipote = 2
ma una volta che si doveva per forza aggiungere una mezza moneta il 2 doveva essere formato per forza da 1,50 + 0,50

il risultato è la metà delle monete che vanno al primo nipote, e cioè 4, ma questo numero doveva essere formato aggiungendo una mezza moneta come da quiz e quindi 3,50 + 0,50

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apollonia

Il ragionamento a ritroso è corretto e sicuramente rappresenta la via più immediata per la risposta. La via che ho seguito è più elaborata ma può essere utile in casi analoghi.

Indicando con x il numero di esemplari nella cassaforte del notaio, possiamo costruire la seguente tabella:

1415247134_tabellaereditnipoti.PNG.d163797ac6af0a5c59749bdfc093e4b5.PNG

Il numero totale di esemplari ereditati è dato dalla somma dei valori nella colonna centrale, per cui:

x = (x+1)/2 + (x+1)/4 + (x+1)/8 = (4x + 4 + 2x + 2 + x + 1)/8 = (7x + 7)/8, da cui 8x = 7x + 7 e x = 7

Quindi lo zio aveva lasciato 7 esemplari di cui 4 sono stati ereditati dal primo nipote, 2 dal secondo e 1 dal terzo.

apollonia

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vv64
Supporter
11 minuti fa, apollonia dice:

Il ragionamento a ritroso è corretto e sicuramente rappresenta la via più immediata per la risposta. La via che ho seguito è più elaborata ma può essere utile in casi analoghi.

Indicando con x il numero di esemplari nella cassaforte del notaio, possiamo costruire la seguente tabella:

1415247134_tabellaereditnipoti.PNG.d163797ac6af0a5c59749bdfc093e4b5.PNG

Il numero totale di esemplari ereditati è dato dalla somma dei valori nella colonna centrale, per cui:

x = (x+1)/2 + (x+1)/4 + (x+1)/8 = (4x + 4 + 2x + 2 + x + 1)/8 = (7x + 7)/8, da cui 8x = 7x + 7 e x = 7

Quindi lo zio aveva lasciato 7 esemplari di cui 4 sono stati ereditati dal primo nipote, 2 dal secondo e 1 dal terzo.

apollonia

Il ragionamento seguito è equivalente, cambia la formalizzazione. Aggiungo anche la mia

Sia X il totale delle monete, A il numero di monete che prende il primo fratello, B quelle che prende il secondo e C quelle che prende il terzo.

C=1, infatti C = ½ [X-A-B] +½ e, visto che non avanzano monete dopo la distribuzione,  C= [X-A-B]. Quindi  ½ [X-A-B] +½ = [X-A-B], da cui  [X-A-B]+1=

= 2[X-A-B] e, infine,  [X-A-B] = C = 1.

Ragionando a ritroso allo stesso modo B = 2 e A = 4, infatti:

½ [X-A] +½ = B, da cui  [X-A]+1= 2B e quindi [X-A-B] + 1 = B  che, essendo [X-A-B] = C =.1 implica B = 2,

e, per quanto riguarda A:

½ X +½ = A, da cui  X+1= 2A e quindi [X-A-B] + 1 = A – B, da cui, essendo [X-A-B] = C =.1 e B = 2,  si ottiene A = 4.   

Di conseguenza X = 1+2+4 = 7.

Valerio

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apollonia

Quiz analogo

Divisione delle monete in un album

Alice, Michele, Nicolò e Giorgio presero tutte le monete di un album lasciandolo vuoto. Alice ne ha preso un quarto, poi Michele ha preso un terzo di quelle rimaste, quindi Nicolò ha preso la metà delle rimanenti e infine Giorgio le ultime sei rimaste. Quante monete c’erano originariamente nell’album e quante ne ha prese Nicolò?

apollonia

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LolloCaccia

X è il totale delle monete

Alice prende 1/4X

Michele prende 1/3(X-1/4X)

Nicolò prende la metà delle monete rimaste e se poi ne restano 6 per Giorgio significa che anche Nicolò prende 6 monete (nell'espressione sono state direttamente sommate nel 12 prima dell'uguale)

Unendole viene questa equazione:

20201029_201843.png.298f3b26d8b11faca840d84f8e9dc930.png

[perdonate la calligrafiabash.gif.90fe75c0114979fc3e2a3d5377867aad.gif]

Viene che X è 24 quindi:

Alice prende 1/4 di 24=6 monete

Michele prende 1/3(X-1/4X)=6 monete

Nicolò come avevamo già detto prende anche lui 6 monete 

E come dice il testo del problema anche Giorgio prende 6 monete

Edited by LolloCaccia
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apollonia

Nel dare il benvenuto al mio concittadino (sono nato a Monza), aggiungo la mia soluzione stavolta in... prosa.

Se Giorgio ha preso le ultime 6 monete nell’album, Nicolò deve aver preso prima la metà di quelle rimaste che quindi dovevano essere 12. Siccome Michele ha preso 1/3 di quelle rimaste, per lasciarne 12 deve aver trovato nell’album 18 monete (2/3 di 18 = 12). A sua volta Alice, che ha preso ¼ di tutte le monete, per lasciarne 18 deve averne trovate 24 (3/4 del totale = 18). Quindi l’album conteneva 24 monete e Nicolò ne ha prese 6.

Alla prossima.

apollonia

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