Sui puzzle monetali proposti da Oppiano

[apollonia]

Salve.

Il campione da analizzare è costituito da un certo numero di monete identiche all’aspetto, tutte autentiche e dello stesso peso tranne una falsa, di peso inferiore. Lo strumento a disposizione è una bilancia a due piatti. Se il campione con la moneta falsa fosse di due unità, basta una pesata per risolvere il problema, come pure se il campione fosse di tre unità in quanto possiamo mettere una moneta su un piatto della bilancia, una sull’altro piatto e la terza tenerla a parte. Se la bilancia rimane in equilibrio, la moneta falsa è quella a parte, senza bisogno di verificarne il peso; se la bilancia non rimane in equilibrio, la moneta falsa è quella di peso inferiore. Se il campione con la moneta falsa fosse di quattro unità, servono due pesate per trovarla: nella prima si trova per confronto la coppia più leggera e nella seconda la più leggera della coppia.

Da questa premessa si vede che per un campione di otto monete, una strada da seguire consiste, dopo aver etichettato le monete con le lettere dell’alfabeto da A ad H, di suddividerle in due terne (A,B,C e D,E,F) da mettere a confronto nella prima pesata e lasciarne due a parte (G,H). Se la bilancia resta in equilibrio, la moneta falsa è la più leggera della coppia G,H che si trova nella seconda pesata. Se la bilancia non resta in equilibrio, la moneta falsa è la più leggera della terna più leggera, che si trova nella seconda pesata. Quindi il problema richiede due pesate per la soluzione. Se avessimo separato le monete in due gruppi di quattro unità ciascuno, il problema avrebbe richiesto tre pesate.

Per un campione di dodici monete, il primo passo sarà la suddivisione delle stesse, dopo averle etichettate con le lettere dell’alfabeto da A ad N, in tre quaterne e identificare dalla prima pesata la quaterna più leggera. Quindi proseguire con l’analisi della quaterna più leggera per trovare la moneta più leggera con altre due pesate. In questo caso sono tre le pesate necessarie per risolvere il problema.

Tornando al problema delle otto monete, un metodo alternativo che rende la seconda pesata indipendente dall’esito della prima consiste nel confrontare il peso della terna (A + B + C) con quello della terna (F + G+ H) nella prima pesata e il peso della terna (A + D + F) con quello della terna (C + E + H) nella seconda pesata. Poi si confrontano i risultati a tavolino e si trova la risposta seguendo il procedimento che ho descritto al post # 3 del Puzzle 1.

Una variante del problema delle otto monete si ha quando si dispone di tre bilance di cui due affidabili e una non affidabile nelle pesate, senza sapere quali sono quelle “buone”. È evidente che con due pesate su ciascuna bilancia, quindi sei in totale, si trova la moneta falsa perché le due bilance buone saranno sempre in accordo nel risultato. C’è però la possibilità di risparmiare una o due pesate con il procedimento al quale ho fatto cenno nel post # 3 della Variante al Puzzle 1.

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