Matematica e geometria nei giochi enigmistici

[apollonia]

6 ore fa, Carlo. dice:

240 centimetri, un bel pesciolone.

Chiamiamo:

T la testa

B il corpo

C la coda

Il pesce è lungo T+B+C

Sappiamo che:

B = T+C = 30+C

C = T+1/2B = 30+15+1/2C

Ne discende: 1/2C = 45, quindi C=90 e B=120

Quindi il pesce è lungo:

30+120+90=240 cm

Saluti

Carlo

 

Ok.

Saluti,

apollonia

[apollonia]

Giuseppe deve prenotare un viaggio in pullman potendo scegliere come città di partenza B oppure C. Giuseppe ha monitorato i prezzi dei pullman e ha visto che il primo giorno i prezzi dei biglietti erano gli stessi partendo sia da B sia da C; il secondo giorno, invece, il biglietto da C era diminuito del 5% mentre quello da B era aumentato del 15%. Al terzo giorno la differenza tra i due biglietti era di 24 €.

Pietro ha deciso di prenotare il pullman che partiva da C perché costava meno. Quanto ha speso?

apollonia

 

[apollonia]

Il 30/12/2025 alle 18:03, apollonia dice:

Giuseppe deve prenotare un viaggio in pullman potendo scegliere come città di partenza B oppure C. Giuseppe ha monitorato i prezzi dei pullman e ha visto che il primo giorno i prezzi dei biglietti erano gli stessi partendo sia da B sia da C; il secondo giorno, invece, il biglietto da C era diminuito del 5% mentre quello da B era aumentato del 15%. Al terzo giorno la differenza tra i due biglietti era di 24 €.

 

Pietro ha deciso di prenotare il pullman che partiva da C perché costava meno. Quanto ha speso?

 

apollonia

 

 

Pietro ha fatto la scelta più economica pagando il biglietto al costo iniziale scontato del 5% (partenza da C). Per sapere quanto ha speso bisogna calcolare dai dati il prezzo iniziale X e ridurlo del 5% (X – 0,05X = 0,95X).

apollonia

[apollonia]

Il 05/01/2026 alle 17:58, apollonia dice:

Pietro ha fatto la scelta più economica pagando il biglietto al costo iniziale scontato del 5% (partenza da C). Per sapere quanto ha speso bisogna calcolare dai dati il prezzo iniziale X e ridurlo del 5% (X – 0,05X = 0,95X).

 

apollonia

 

Do la mia risposta:

Il prezzo iniziale X uguale per la partenza da B o da C ha subito nel secondo giorno un aumento del 15% per la partenza da B e una riduzione del 5% per la partenza da C. Sapendo che al terzo giorno la differenza di prezzo era di 24 €, si può impostare l’equazione  X + 0,15X – (X – 0,05X) = 24, da cui 0,15X + 0,05X = 24 e quindi X = 120 €. Pietro ha quindi speso 120 – 0,05x120 = 114 €.

apollonia

[apollonia]

Primo quiz del 2026

Una maestra entra nella sua classe e commenta: “Si vede che c’è in giro l’influenza, mancano un quinto degli alunni”. Poi però, vedendo entrare di corsa Giorgio, che è sempre in ritardo, si corregge: “No, ne mancano solo un sesto!”. Quanti sono gli alunni della classe?

apollonia

 

 

[Carlo.]

5 ore fa, apollonia dice:

Primo quiz del 2026

 

Una maestra entra nella sua classe e commenta: “Si vede che c’è in giro l’influenza, mancano un quinto degli alunni”. Poi però, vedendo entrare di corsa Giorgio, che è sempre in ritardo, si corregge: “No, ne mancano solo un sesto!”. Quanti sono gli alunni della classe?

 

apollonia

Buongiorno,

Gli alunni sono 30.

Ragionando sugli assenti, posto X il numero degli alunni:

1/5X = 1/6X+1, da cui (1/5-1/6)X=1 e quindi X=30

Saluti e buona settimana,

Carlo

[apollonia]

9 ore fa, Carlo. dice:

Buongiorno,

Gli alunni sono 30.

Ragionando sugli assenti, posto X il numero degli alunni:

1/5X = 1/6X+1, da cui (1/5-1/6)X=1 e quindi X=30

Saluti e buona settimana,

Carlo

 

Buongiorno Carlo, la risposta è giusta.

Il numero di assenti contati dalla maestra appena entrata in classe x/5 (dove x è il numero di alunni totale) si riduce di una unità come entra in classe Giorgio (x/5 – 1) e gli alunni assenti diventano x/6. Quindi x/5 – 1 = x/6; moltiplicando per il minimo comune multiplo, si ha 6x – 30 = 5x da cui x = 30.

Buona settimana,

apollonia

 

 

[apollonia]

Secondo quiz 2026

In una cena, otto commensali si siedono a un tavolo quadrato avente due sedie per lato. In quanti modi diversi possono mettersi?

 

 

[apollonia]

Il 12/01/2026 alle 18:21, apollonia dice:

Secondo quiz 2026

In una cena, otto commensali si siedono a un tavolo quadrato avente due sedie per lato. In quanti modi diversi possono mettersi?

 

 

 

 

Suggerimento:

Bisogna considerare le possibilità di scelta del posto a tavola che ha ciascun commensale, dal primo all’ultimo.

apollonia

 

[Carlo.]

2 minuti fa, apollonia dice:

Suggerimento:

 

Bisogna considerare le possibilità di scelta del posto a tavola che ha ciascun commensale, dal primo all’ultimo.

 

apollonia

 

 

In teoria le combinazioni sono 8!=40.320

Ma visto che il tavolo è quadrato, sono presenti 8 assi di simmetria quindi 8!/8=5.040

Saluti

Carlo.

[Carlo.]

Un quadrato ha 4 assi di simmetria (le due diagonali e le due mediane che uniscono i punti medi dei lati opposti) e 1 centro di simmetria (l'intersezione di questi assi), oltre a simmetrie rotazionali di 90°, 180°, 270° attorno al centro, per un totale di 8 isometrie (trasformazioni che conservano distanza e forma) se si include l'identità. 

[apollonia]

Buonasera Carlo, a me viene un numero di disposizioni doppio del tuo ricavato con questo calcolo.

Il primo commensale può sedersi al tavolo in due modi, precisamente in uno dei numeri dispari di ciascun lato con l’angolo del tavolo alla sua sinistra oppure in uno dei numeri pari con l’angolo del tavolo alla sua destra.

Il secondo commensale può scegliere di sedersi in uno dei sette posti rimasti liberi, e poiché ogni scelta comporta una diversa disposizione al tavolo, anche le possibilità sono sette. Ragionamento analogo per il terzo commensale che avrà sei possibilità di scelta, per il quarto che ne avrà cinque, per il quinto che ne avrà quattro, per il sesto che ne avrà tre e per il settimo che ne avrà due. L’ottavo commensale dovrà invece accomodarsi all’unico posto rimasto libero.

Si hanno così 2x7x6x5x4x3x2x1 = 10.080 disposizioni possibili, numero che si può anche ottenere dalla sola moltiplicazione 2x7! dove il fattoriale di 7 è il risultato ottenuto moltiplicando tutti i numeri interi da 1 a 7 (7! = 7×6×5×4×3×2×1 = 5.040).

Saluti,

apollonia

 

 

 

[Carlo.]

Buongiorno @apollonia, dalla descrizione del tuo ragionamento questo apparirebbe corretto, ma numericamente non mi torna.

Il primo commensale può scegliere una qualsiasi delle 8 posizioni, il secondo una delle 7 libere e così via. Questo comporta che le possibili combinazioni sono 8!.

Il tavolo può essere ruotato di 90° per 4 volte -includendo l'identità- (0°, 90°, 180°, 270°), quindi le possibilità sono 4, il che porta a 8!/4 le combinazioni.

Infine, sono presenti 4 assi di simmetria (le due mediante e le due diagonali), il che riduce le possibilità di ulteriori 8!/4 combinazioni.

Ne deriva il risultato di 7!=5.040 possibili combinazioni.

in sostanza, è indifferente nel calcolo dove si siede il primo commensale, cui, invece, attribuisci 2 possibilità nel tuo ragionamento, la cui scelta è "sostituibile" da una delle rotazioni o da un asse di simmetria.

Saluti e buona giornata, 

Carlo

[apollonia]

Ripeto il mio ragionamento nei dettagli per vedere se e dove ci può essere un errore.

Consideriamo un tavolo rotondo con 8 posti equidistanti uno dall’altro non numerati. Il primo invitato può sedersi a un posto qualsiasi, ma poiché un posto vale l’altro, la sua scelta non condiziona la situazione che si crea dopo che ha preso posto. Come dire che il primo invitato non può effettuare una scelta quando si siede al tavolo, per così dire, “vergine”. Invece, dopo che il tavolo è stato, per così dire, “marcato”, il secondo invitato potrà scegliere uno dei 7 posti rimasti liberi, il terzo uno dei 6 posti rimasti liberi, e così via fino all’ottavo invitato che potrà prendere posto solo nell’unico posto rimasto libero. Moltiplicando fra loro le scelte possibili dal primo all’ottavo invitato, il risultato è 1x7×6×5×4×3×2×1 = 5.040, numero che rappresenta le possibili disposizioni degli invitati attorno al tavolo.

Invece in un tavolo quadrato con due posti equidistanti non numerati per lato gli 8 posti non sono equivalenti perché 4 hanno il lato contiguo a sinistra di chi si siede e 4 hanno il lato contiguo a destra di chi si siede.

Il primo invitato può scegliere di sedersi in uno qualsiasi dei 4 posti con il lato contiguo alla sua sinistra oppure in uno qualsiasi dei 4 posti con il lato contiguo alla sua destra, dando origine a due distinte situazioni iniziali: un tavolo con il lato contiguo alla sinistra di chi siede occupato oppure un tavolo con il lato contiguo alla destra di chi siede occupato. Le scelte degli invitati che si siedono al tavolo dal secondo all’ottavo sono le stesse considerate per il tavolo rotondo, e quindi le scelte possibili dal primo all’ottavo invitato sono 2x7×6×5×4×3×2×1 = 10.080.

In sostanza nel tavolo rotondo uno degli 8 posti vale l’altro e dovunque si sieda il primo invitato, si crea la stessa situazione dopo l’occupazione di un posto. Come dire che non c’è scelta per il primo invitato.

Invece nel tavolo quadrato il primo invitato può scegliere uno dei 4 posti con il lato contiguo alla sua sinistra (uno vale l’altro) oppure uno dei 4 posti con il lato contiguo alla sua destra (uno vale l’altro). In questo caso la scelta del primo invitato dà luogo a due distinte situazioni iniziali e quindi il numero delle possibili disposizioni degli invitati attorno al tavolo quadrato è il doppio di quelle attorno al tavolo rotondo, come visto sopra.

apollonia

 

 

[Carlo.]

Buonasera @apollonia,

Ho interrogato le AI di Google e Chatgpt per provare a capire meglio la questione, fornendo solo il quesito iniziale.

In sintesi:

Google dice 8!, nell'assunzione che le postazioni siano uniche (come se fossero numerate)

Chatgpt dice 8! nell'ipotesi analoga a google, 8!/4 se si considerano le possibili rotazioni del tavolo, 8!/8 se si considerano anche le riflessioni.

A questo punto ritengo la tua risposta corretta, ovvero 2•7!, in quanto è corretto considerare le rotazioni e le riflessioni, queste ultime SOLO rispetto alle mediane dei lati ma NON rispetto alle diagonali. 

Saluti

Carlo

[apollonia]

Buonasera Carlo,

Anch'io ho chiesto chiarimenti a chi mi aveva sottoposto il problema tempo fa riconoscendo poi corretta la mia soluzione senza tanti commenti. La risposta è la seguente.

Ci sono 5.040 modi diversi per far sedere otto ospiti a un tavolo rotondo, perché nelle permutazioni circolari si tiene conto solo della posizione relativa degli ospiti, non di quella assoluta: quindi si calcolano come (𝑛−1)! Per otto ospiti (n=8) si ha così (8−1)! = 7! = 5.040.

Per otto ospiti attorno a un tavolo quadrato disposti due per lato, il numero di disposizioni possibili si può ricavare dividendo il numero totale di modi per assegnare otto persone a otto posti se questi fossero in fila (disposizioni lineari = 8! = 40.320) per 4, il numero di rotazioni possibili di un quadrato che portano alla stessa disposizione relativa: 8!/4 = 10.080. Quindi, se si tiene conto della simmetria del tavolo quadrato (rotazioni), il numero delle disposizioni possibili è il doppio di quello di un tavolo rotondo con lo stesso numero di posti.

Saluti e alla prossima,

apollonia

 

Modificato 42 minuti fa da apollonia