Matematica e geometria nei giochi enigmistici

[apollonia]

14 ore fa, Il_Collezionista_ dice:

Provo a risolvere:

Le squadre sono 7 , in totale avranno fatto 21 partite.

Per ottenere come totale 60 durante tutte le 21 partite ci sono state 18 concluse con una vittoria e 3 in pareggio.

La mia risposta di quante partite sono finite in pareggio é:

3

 

 

La risposta è giusta, ma come ho già fatto presente, la mia aspettativa è che il solutore spieghi nei dettagli la via seguita per trovarle la risposta. La cosa è utile non solo per un confronto con la via seguita da chi ha proposto il quiz, ma soprattutto per chi ha cercato di risolvere il quiz ma non ha trovato il modo di arrivare alla soluzione. Nel caso specifico, uno potrebbe chiedersi come si può affermare che le squadre hanno disputato 21 partite e poi come si può dimostrare che i 60 punti assegnati in esse si traducono in 18 vittorie e tre pareggi con un procedimento che non sia quello di provare caso per caso.

Poi dirò del mio procedimento.

apollonia

[Il_Collezionista_]

Il numero dei tornei

6(n-1)x7(n):2 = 21

18 vittorie = 54 punti

3 pareggi= 6 punti

Totale 54+6=60

Non ci sono altre combinazioni possibili quindi é per forza 3 pareggi

[apollonia]

Riporto il testo del problema

La formula della fase iniziale di un torneo a sette squadre prevede che ciascuna squadra giochi contro tutte le altre una sola volta e che negli scontri diretti venga assegnato in ogni incontro 3 punti al vincitore e nessun punto al perdente in caso di vittoria e 1 punto a ciascuna delle due squadre in caso di pareggio.

Al termine la somma dei punti totalizzati dalle sette squadre è 60. Quante sono le partite finite in pareggio?

Considerato che ognuna delle 7 squadre disputa 6 partite e che si devono escludere le partite doppie perché ciascuna squadra gioca contro tutte le altre una sola volta, il numero di partite giocate è 7x6/2 = 21, come si può vedere dal prospetto seguente.

Se le 21 partite fossero finite tutte in parità, la somma dei punti totalizzati sarebbe stata 42.

Se le 21 partite si fossero concluse tutte con la vittoria di una squadra, la somma dei punti totalizzati sarebbe stata 63.

Il punteggio di 60 indica che qualche partita è finita in pareggio. Indicando con P le partite pareggiate, si può impostare l’equazione 2P + 3(21 - P) = 60 da cui P = 3.

Infatti, come verifica, la somma dei punti assegnati per le tre partite pareggiate (6) più i punti per le partite con un vincitore (18x3 = 54) dà 60.

apollonia

[apollonia]

Per aprire una cassaforte contenente le monete ereditate dovete risolvere il problema che vi chiede quanti sono i possibili codici della combinazione a 5 cifre, avendo come indizio che le cifre della combinazione giusta sono tutte diverse fra loro e la prima è la somma delle rimanenti quattro.

Qual è il numero dei possibili codici della combinazione?

apollonia

[Il_Collezionista_]

Posso provare con 

64 combinazioni 

Calcolando che minimo il primo numero sarà 6 , posso essere utilizzatati: 6 7 8 9

Ogni combinazione può essere ripetuta 16 volte quindi 64

[Carlo.]

scusate, ero convinto di aver già risposto, invece non avevo schiacciato "invia"

168 combinazioni.

le cifre della combinazione giusta sono tutte diverse fra loro e la prima è la somma delle rimanenti quattro

a questi vincoli va aggiunto che la prima cifra deve essere minore o uguale di 9 (vincolo sottointeso).

possiamo individuare quindi degli insiemi di quartuple che rispondono ai vincoli sopra esposti:

(0,1,2,3) (somma 6),
(0,1,2,4) (somma 7),
(0,1,2,5) (somma 8),
(0,1,2,6) (somma 9),
(0,1,3,4) (somma 8),
(0,1,3,5) (somma 9),
(0,2,3,4) (somma 9).

Per ciascuno di questi 7 insiemi la prima cifra è fissata (= la somma) e le quattro cifre rimanenti possono comparire nelle posizioni da 2 a 5 in diverso ordine, quindi in 4! = 24 modi distinti.

quindi il totale delle combinazioni è dato da 24 (combinazioni date dall'ordine delle 4 cifre) x 7 (insiemi di quartuple) = 168 combinazioni.

saluti

Carlo

[apollonia]

28 minuti fa, Carlo. dice:

scusate, ero convinto di aver già risposto, invece non avevo schiacciato "invia"

168 combinazioni.

le cifre della combinazione giusta sono tutte diverse fra loro e la prima è la somma delle rimanenti quattro

a questi vincoli va aggiunto che la prima cifra deve essere minore o uguale di 9 (vincolo sottointeso).

possiamo individuare quindi degli insiemi di quartuple che rispondono ai vincoli sopra esposti:

(0,1,2,3) (somma 6),
(0,1,2,4) (somma 7),
(0,1,2,5) (somma 8),
(0,1,2,6) (somma 9),
(0,1,3,4) (somma 8),
(0,1,3,5) (somma 9),
(0,2,3,4) (somma 9).

Per ciascuno di questi 7 insiemi la prima cifra è fissata (= la somma) e le quattro cifre rimanenti possono comparire nelle posizioni da 2 a 5 in diverso ordine, quindi in 4! = 24 modi distinti.

quindi il totale delle combinazioni è dato da 24 (combinazioni date dall'ordine delle 4 cifre) x 7 (insiemi di quartuple) = 168 combinazioni.

saluti

Carlo

 

Non si poteva trovare una spiegazione migliore: complimenti.

apollonia

[Carlo.]

10 minuti fa, apollonia dice:

Non si poteva trovare una spiegazione migliore: complimenti.

apollonia

 

Grazie. Mi sono dovuto applicare, non è la mia branca matematica preferita. Essendomi anche un poco ostica ho ritenuto di dover essere più chiaro del solito nella spiegazione, anche a verifica del ragionamento.

Saluti

[apollonia]

Il 17/09/2025 alle 17:51, Carlo. dice:

Grazie. Mi sono dovuto applicare, non è la mia branca matematica preferita. Essendomi anche un poco ostica ho ritenuto di dover essere più chiaro del solito nella spiegazione, anche a verifica del ragionamento.

Saluti

 

La base del ragionamento è che la presenza dello zero nella quaterna era indispensabile perché la somma delle cifre non superasse 9.

[Carlo.]

5 ore fa, apollonia dice:

La base del ragionamento è che la presenza dello zero nella quaterna era indispensabile perché la somma delle cifre non superasse 9.

si, come ho scritto, era un vincolo sottointeso, ma fondamentale! saluti

[apollonia]

Due auto partono alle 12 da due città che distano 300 km, procedendo una incontro all’altra. La prima viaggia a 90 km/h e la seconda a 70 km/h. Dopo un’ora di viaggio la prima auto, a causa del traffico, viaggia per mezz’ora a 50 km/h per poi riprendere la sua velocità normale. A che ora le due auto si incrociano?

apollonia

[Carlo.]

1 ora fa, apollonia dice:

Due auto partono alle 12 da due città che distano 300 km, procedendo una incontro all’altra. La prima viaggia a 90 km/h e la seconda a 70 km/h. Dopo un’ora di viaggio la prima auto, a causa del traffico, viaggia per mezz’ora a 50 km/h per poi riprendere la sua velocità normale. A che ora le due auto si incrociano?

apollonia

 

Buongiorno @apollonia

Si incontrano alle 14:

La prima auto percorre 90 km nella prima ora; nella seconda ora percorre 25 km nella prima mezz'ora e 45 km nella seconda mezz'ora, per un totale di 160 km.

La seconda auto, viaggiando a velocità costante pari a 70 km/h, nelle due ore percorre 140 km.

Saluti

 

[apollonia]

47 minuti fa, Carlo. dice:

Buongiorno @apollonia

Si incontrano alle 14:

La prima auto percorre 90 km nella prima ora; nella seconda ora percorre 25 km nella prima mezz'ora e 45 km nella seconda mezz'ora, per un totale di 160 km.

La seconda auto, viaggiando a velocità costante pari a 70 km/h, nelle due ore percorre 140 km.

Saluti

 

 

 

[apollonia]

Ugo e Gabriella sono distanti 70 km. Una volpe viaggia da Ugo a Gabriella alla velocità di 8 km/h, mentre una lumaca viaggia da Gabriella a Ugo alla velocità di 2 km/h Se entrambi gli animali partono nello stesso momento, quanti chilometri dovrà fare la volpe prima di incontrare la lumaca per strada?

apollonia

[Carlo.]

La volpe percorrerà 56 km (in 7 ore), mentre la lumaca avrà percorso 14 km.

Saluti e buon lunedì 

[apollonia]

10 ore fa, Carlo. dice:

La volpe percorrerà 56 km (in 7 ore), mentre la lumaca avrà percorso 14 km.

Saluti e buon lunedì 

 

Il dato principale è la velocità di avvicinamento data dalla somma della velocità della lepre che viaggia verso la lumaca e della velocità della lumaca che viaggia verso la lepre, cioè di 10 km/h. Dopo 1 h la distanza inziale tra le due di 70 km si è ridotta a 60 km, e così via ora dopo ora fino all’incontro dopo 7 h di viaggio. Naturalmente avrà percorso più chilometri chi ha viaggiato a velocità maggiore, nella fattispecie la volpe che si muove a velocità quadrupla di quella della lumaca. E anche i chilometri percorsi dalla volpe sono il quadruplo di quelli percorsi dalla lumaca.

Ciao e buona giornata,

apollonia

[apollonia]

Federico dice a sua sorella Elisa di avere tanti fratelli quante sorelle. Elisa risponde di avere il doppio dei fratelli rispetto alle sorelle. Quanti figli e quante figlie ci sono in famiglia?

apollonia

[Il_Collezionista_]

4 figli 

3 figlie

Se Federico ha 3 fratelli e 3 sorelle, il problema richiede la stessa quantità.

Elisa ha 2 sorelle e 4 fratelli, il problema richiede che hanno che per ogni sorella ci sia un fratelli 

Il problema coincide quindi presumo sia questa la risposta.

[apollonia]

Indicando con M il numero dei maschi e con F il numero delle femmine nella famiglia, da quanto dice Federico si può scrivere M – 1 = F dove M – 1 è il numero dei suoi fratelli.

Da quanto dice Elisa, si può scrivere M = 2 (F – 1) dove M è il numero dei suoi fratelli e  F – 1 è il numero delle sue sorelle.

Sostituendo nella seconda uguaglianza il valore di M nella prima, risulta F + 1 = 2F – 2 da cui F = 3 e, dalla prima, M = 4.

Quindi la famiglia è composta da 4 maschi e 3 femmine: Federico ha 3 fratelli e 3 sorelle ed Elisa ha 2 sorelle e 4 fratelli.

apollonia

[apollonia]

Due amici, Giovanni e Alberto, vogliono andare al mare. “Andiamo in treno, facciamo prima” dice Giovanni. “No, così dovremmo camminare fino alla stazione, che è a metà strada tra qui e il mare” dice Alberto. “Conviene andare in bicicletta.”

Dato che non riescono a mettersi d’accordo, Giovanni va in treno e Alberto in bicicletta. La velocità del treno è 8 volte la velocità della bicicletta, che è 2 volte la velocità a piedi. Chi dei due arriva prima?

apollonia

[Carlo.]

1 ora fa, apollonia dice:

Due amici, Giovanni e Alberto, vogliono andare al mare. “Andiamo in treno, facciamo prima” dice Giovanni. “No, così dovremmo camminare fino alla stazione, che è a metà strada tra qui e il mare” dice Alberto. “Conviene andare in bicicletta.”

Dato che non riescono a mettersi d’accordo, Giovanni va in treno e Alberto in bicicletta. La velocità del treno è 8 volte la velocità della bicicletta, che è 2 volte la velocità a piedi. Chi dei due arriva prima?

apollonia

 

Arriverà prima Alberto in bicicletta.

Giovanni impiega 16 unità temporali per la prima metà del percorso e 1 unità temporale per la seconda metà, per 17 totali. Alberto impiega 16 unità temporali.

Vincono entrambi perché usano forme di mobilità sostenibile!

Saluti

[apollonia]

14 ore fa, Carlo. dice:

Arriverà prima Alberto in bicicletta.

Giovanni impiega 16 unità temporali per la prima metà del percorso e 1 unità temporale per la seconda metà, per 17 totali. Alberto impiega 16 unità temporali.

Vincono entrambi perché usano forme di mobilità sostenibile!

Saluti

 

 

La cosa che mi torna è che arriva prima Alberto. Infatti, mentre Giovanni fa metà strada (casa-stazione) a piedi, Alberto la fa tutta (casa-mare) in bicicletta dal momento che la velocità in bici è doppia di quella a piedi. La velocità del treno è… irrilevante perchè come Giovanni arriva in stazione, Alberto arriva al mare.

apollonia

 

Modificato 25 Settembre, 2025 da apollonia

[apollonia]

Un collezionista regala tre monete a suo fratello e di quelle che rimangono, la metà più mezza moneta la dà al primo figlio, la metà delle rimanenti più mezza moneta la dà al secondo figlio e le ultime tre monete sono per il terzo figlio. Quante sono in tutto le monete che il collezionista ha voluto donare?

apollonia

[apollonia]

La mia soluzione è questa.

Se indichiamo con x le monete rimanenti dopo le tre date dal collezionista al fratello, possiamo impostare l’equazione x = x/2 + ½ + [x – (x/2 + ½)]/2 + ½ + 3, da cui si ottiene x = 15.

Le monete donate dal collezionista sono quindi 18, come si può verificare dalla somma di quelle date al fratello (3) più la metà delle (18-3) restanti + mezza moneta (8) più la metà delle (15-8) restanti + mezza moneta (4) più le restanti (3).

apollonia

[apollonia]

Combinazione di una cassaforte

Dovendo impostare un codice di 7 cifre per l’apertura di una cassaforte, uno decide di seguire il seguente criterio allo scopo di ricordarlo facilmente: ogni cifra deve comparire tante volte quanto è il suo valore e tutte le cifre uguali devono comparire consecutivamente. Quanti sono i codici possibili tra cui scegliere?

apollonia